Настя, здравствуйте.
1. Вы можете доверить автомобиль мужу. Купите ОСАГО, где в качестве одного из водителей будет указан Ваш муж. В этом случае проблем при остановке сотрудниками ГИБДД не будет.
2. Доказывать родство в ГИБДД не нужно. Полицейским до этого нет никакого дела.
Удачи на дорогах!