Действительно, штрафа за несвоевременную постановку на учет уже не будет, так как прошел его срок. А управлять т/с без регистрации вы можете, но только 2 раза. За первое управление штраф 500 рублей, а за вторую и последующие уже может быть лишение до 3-х месяцев. Поэтому катайтесь в свое удовольствие. Кстати, то, что у вас документы утрачены, гаишников никак волновать не будет. Просто заберут т/с на штрафстоянку и отдадут лишь собственнику с документами. Поэтому можете сами отвезти этот мопед на кладбище и там его закопать...
Еще раз перечитал сообщение. Если руль на табуретке мотоциклетный, то это не категория В1, В2 или 3 и т.д. это категория А. Поэтому поздравляю, что сумели отбрехаться от законного штрафа в 15 тыс. руб. и законной эвакуации