Алексей, здравствуйте.
Вы можете обменять водительское удостоверение в Санкт-Петербурге. Однако пройти нарколога и психиатра можно только по месту регистрации (постоянной или временной). Так что придется либо съездить в регион прописки, либо сделать регистрацию в СПб.
Удачи на дорогах!