Наталья-307, здравствуйте.
Вносить маму в ПТС не обязательно, это не требуется. По поводу даты оформления договора - при оформлении документов должна указываться текущая дата.
P.S. Если бы мама подарила Вам автомобиль сразу после вступления в наследство, то начиная с даты дарения начали бы считаться 3 года, по прошествии которых машину можно было бы продать без подачи налоговой декларации. Однако поскольку мама этого не сделала, срок будет считаться от текущей даты. А оформление договора "задним числом" может впоследствии рассматриваться, как уклонение от уплаты налогов.
Удачи на дорогах!