Штраф Вам выписали правильно (ребенок в машине был не пристёгнут). Не надо давить на жалость, если ребёнок плачет, то остановите ТС и только потом успокаивайте ребёнка.
ПДД:
22.9. Перевозка детей допускается при условии обеспечения их безопасности с учетом особенностей конструкции транспортного средства.
Перевозка детей до 12-летнего возраста в транспортных средствах, оборудованных ремнями безопасности, должна осуществляться с использованием детских удерживающих устройств, соответствующих весу и росту ребенка, или иных средств, позволяющих пристегнуть ребенка с помощью ремней безопасности, предусмотренных конструкцией транспортного средства, а на переднем сиденье легкового автомобиля - только с использованием специальных детских удерживающих устройств...
По закону ГИБДД относится к полиции. Поэтому лучше в течение двух лет квитанции об оплате держать при себе (в машине) на всякий случай. Также можете зайти в отделение ГИБДД или подойти к инспектору ГИБДД и попросить их проверить в базе прохождение оплаты штрафа. Кстати, если собираетесь за рубеж, очень прошу это выполнить, чтобы на границе не возникло проблем.
Федеральный закон "О полиции":
Статья 13. Права полиции
1. Полиции для выполнения возложенных на нее обязанностей предоставляются следующие права:
...
2) проверять документы, удостоверяющие личность граждан, если имеются данные, дающие основания подозревать их в совершении преступления или полагать, что они находятся в розыске, либо если имеется повод к возбуждению в отношении этих граждан дела об административном правонарушении, а равно если имеются основания для их задержания в случаях, предусмотренных федеральным законом; проверять у граждан, должностных лиц, общественных объединений и организаций разрешения (лицензии) и иные документы на совершение определенных действий или на осуществление определенного вида деятельности, контроль (надзор) за которыми возложен на полицию в соответствии с законодательством Российской Федерации;
...
4) в связи с расследуемыми уголовными делами и находящимися в производстве делами об административных правонарушениях, а также в связи с проверкой зарегистрированных в установленном порядке заявлений и сообщений о преступлениях, об административных правонарушениях, о происшествиях, разрешение которых отнесено к компетенции полиции, запрашивать и получать на безвозмездной основе по мотивированному запросу уполномоченных должностных лиц полиции от государственных и муниципальных органов, общественных объединений, организаций, должностных лиц и граждан сведения, справки, документы (их копии), иную необходимую информацию, в том числе персональные данные граждан, за исключением случаев, когда федеральным законом установлен специальный порядок получения информации; при выявлении и пресечении налоговых преступлений запрашивать и получать от кредитных организаций справки по операциям и счетам юридических лиц и граждан, осуществляющих предпринимательскую деятельность без образования юридического лица; в порядке, определяемом федеральным органом исполнительной власти в сфере внутренних дел и федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, запрашивать и получать от медицинских организаций сведения о гражданах, поступивших с ранениями и телесными повреждениями насильственного характера либо с ранениями и телесными повреждениями, полученными в результате дорожно-транспортных происшествий, а также о гражданах, имеющих медицинские противопоказания или ограничения к водительской деятельности;
...